Anzselika y Zseraldina ya habían experimentado anteriormente con granos de café Black Ivory y Kopi luwak.

Esta vez decidieron probar una exclusiva mezcla elaborada con los dos cafés más caros del mundo, y para ello idearon un curioso ritual lleno de experimentación.

Problema 299: El último grano de café

Anzselika y Zseraldina colocan exactamente 100 granos de café Black Ivory y 100 granos de café Kopi luwak en un recipiente.

Según el ritual, en cada ronda Anzselika, con los ojos cerrados, extrae al azar exactamente dos granos del recipiente y los arroja al molinillo.

Para hacer aún más impredecible la proporción de la mezcla, después de cada extracción Zseraldina añade exactamente un grano de café de la reserva siguiendo esta regla estricta:

Si Anzselika ha echado al molinillo dos granos de la misma variedad (dos Black Ivory o dos Kopi luwak), Zseraldina añade un grano fresco de Black Ivory al recipiente.

Si los dos granos eran de variedades distintas (un Black Ivory y un Kopi luwak), Zseraldina añade un grano de Kopi luwak.

Como en cada ronda salen dos granos del recipiente y entra uno nuevo, la cantidad total disminuye exactamente en una unidad.

El proceso continúa hasta que finalmente queda un único y solitario grano de café.

¿De qué variedad será ese último grano?

Zseraldina sostiene que, como comenzaron con la misma cantidad de cada tipo de café, la identidad del último grano depende únicamente del azar.

¿Tiene razón?

Pista

Fíjate en la paridad. ¿Qué característica permanece inalterable durante todo el proceso?

Solución

El último grano será, con total seguridad y sin importar el orden de las extracciones, un grano de Black Ivory.

La clave está en observar la paridad —es decir, si el número es par o impar— de los granos de Kopi luwak que permanecen en el recipiente.

Veamos qué ocurre en cada caso:

Si se extraen dos granos Black Ivory: Zseraldina añade un Black Ivory. El número de granos Kopi luwak no cambia.

Si se extraen dos granos Kopi luwak: Zseraldina añade un Black Ivory. El número de granos Kopi luwak disminuye exactamente en dos unidades.

Si se extraen un Black Ivory y un Kopi luwak: se añade un nuevo Kopi luwak. Como uno salió y otro entró, la cantidad total de Kopi luwak permanece igual.

Como puede verse, el número de granos Kopi luwak o bien permanece constante o bien disminuye exactamente en dos.

Esto significa que su paridad nunca cambia durante todo el proceso.

Al inicio había exactamente 100 granos Kopi luwak, una cantidad par. Por lo tanto, la cantidad de granos Kopi luwak seguirá siendo siempre par: 100, 98, 96, ..., 2 o 0.

Cuando finalmente quede un único grano en el recipiente, será imposible que sea un Kopi luwak, ya que eso implicaría que habría exactamente un grano Kopi luwak, una cantidad impar.

Por consiguiente, el último grano solo puede ser un Black Ivory.

Conclusión

Aunque a primera vista parezca un juego de azar, el resultado está completamente determinado por una propiedad matemática que nunca cambia: la paridad del número de granos Kopi luwak.

Como esa cantidad comienza siendo par y permanece siempre par, el último grano superviviente no depende de la suerte. Sin importar cómo se realicen las extracciones, el resultado será siempre el mismo:

el último grano será Black Ivory.

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